¿Por qué se emplea normalmente la X para expresar una incógnita?

La utilización de letras para simbolizar números se remonta a la antigua Grecia. Aristóteles empleaba de manera frecuente una o dos letras mayúsculas para denotar una magnitud o un número.

Diofanto de Alejandría (210-290), el padre del álgebra, utilizaba una letra griega con un acento para representar incógnitas. Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann (1811-1881), un filólogo e historiador matemático, utilizó este ideograma para simbolizar la letra sigma (Σ) final, y recalcó la posibilidad de que dicha selección se debía a que era la única letra del alfabeto griego que no se empleaba para escribir números, aunque hay distintas opiniones al respecto.

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En 1463, Benedetto de Florencia empleó la letra griega rho (Ρ ρ) para una incógnita en su trabajo «Trattato di praticha d’arismetrica«.

En Roma, el libro «Liber abaci» (1202) de Leonardo de Pisa, representaba los datos por letras minúsculas. Mientras, Jordanus Nemorarius (1225-1260) utilizaba letras para reemplazar números.

El primer autor de un libro de álgebra en alemania, Christoff Rudolff, empleaba las letras a, c y d para representar números, aunque no en las ecuaciones algebraicas de su obra «Behend vnnd Hubsch Rechnung«.

Michael Stifel utilizó la q (abreviación de «quantita«, que Cardan ya había empleado) pero también usó A, B, C, D y F para las incógnitas en su tratado «Arithmetica integra» de 1544.

El médico y matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) utilizaba las letras a y b para designar números conocidos en su volumen «De regula aliza» (1570).

En 1575, el filólogo Guilielmus Xylander tradujo del griego al latín el trabajo «Arithmetica» de Diofanto de Alejandría y empleó la letra N (numerus) para las incógnitas y ecuaciones.

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Francois Viète (1540-1603)

En 1591, Francois Viète fue la primera persona en utilizar letras para las incógnitas y constantes en ecuaciones algebraicas. Empleó vocales para las incógnitas y consonantes para los datos conocidos (todas en mayúsculas) en su trabajo «In artem analyticam isagoge«. Viète escribió para dictaminarlo: «Quod oopus, ut arte aliqua juventur, symbolo constanti et perpetuo ac bene conspicuo date magnitudines ab incertis quaesititiis distinguantur ut […] magnitudines quaesititias elemento A aliave litera volcali, E, I, O, V, Y […] elementis B, G, D, aliisve consonis designando.»

Thomas Harriot (1560-1621) empleó en su libro «Artis analyticae praxis, ad aequationes algebraicas» vocales minúsculas para las incógnitas y consonantes también minúsculas para las cantidades conocidas.

La utilización de la z, y ó x que practicaba Descartes, se puede leer en este texto de Florian Cajori: «El uso de z, y ó x para representar incógnitas se debe a René Descartes gracias a su obra «La géometrie» (1637). Sin comentarios, introduce el empleo de las primeras letras del alfabeto para expresar cantidades conocidas y la utilización de las las últimas letras del alfabeto para expresar incógnitas. En su propio lenguaje: ‘…l’autre, LN, est (1/2) a la moitié de l’autre quantité connue, qui estoit multipliée par z, que ie suppose estre la ligne inconnue‘.

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René Descartes (1596-1650)

De nuevo: ‘…ie considere … Que le segment de la ligne AB, qui est entre les poins A et B, soit nommé x, et quie BC soit nommé y; … la proportion qui est entre les costés AB et BR est aussy donnée, et ie la pose comme de z a b; de façon qu’ AB estant x, RB sera bx/z, et la toute CR sera y = bx/z. …

Después explica: ‘et pour ce que CB et BA sont deux quantités indeterminées et inconnuës, ie les nomme, l’une y; et l’autre x. Mais, affin de trouver le rapport de l’une a l’autre, ie considere aussy les quantités connuës qui determinent la description de cete ligne courbe: comme GA que je nomme a, KL que je nomme b, et NL, parallele a GA, que ie nomme C‘.’ »

Para las coordenadas emplea sólo x y y. En las ecuaciones, en el tercer volumen de «Géométrie«, la x predomina.

En los manuscritos escritos entre 1629-1640, la incógnita z aparece sólo una vez, y en otros emplazamientos figuran la x y la y. En un papel de «El óvalo de Descartes«, preparado antes de 1629, la x sola aparece como incógnita, y la y se utiliza como parámetro. Esta es la primera vez que Descartes empleó una de las últimas letras del alfabeto para representar incógnitas. Más tarde usó x, y o z de nuevo como cantidades conocidas.

De esta manera, Johannes Tropfke, Peter Treutlein, y Maximillian Curtze adelantaron que el símbolo para las incógnitas utilizado por los primeros escritores germanos, german, se parecía mucho a una x que pudo fácilmente haber sido tomada como tal, y que Descartes interpretó y empleó como una x. Pero el modo en que Descartes introdujo las variables conocidas a, b ó c, etc…, y las variables desconocidas z, y ó x, hacen improbable esta hipótesis.

Según una carta que Gustaf Eneström envió el 26 de marzo de 1619 a Isaac Beeckman, Descartes utilizó el símbolo german como elemento distinto a la x, así que no pudo haberlo malinterpretado como una x. En algún momento antes de 1637, Descartes empleó x al lado de german. En aquellos tiempos, él seguía usando x, y ó z como símbolos para las variables conocidas. Los símbolos germánicos como german, que representan la x y son encontrados en el álgebra de Cristóbal Clavio, aparecen con frecuencia en un manuscrito de Descartes, el libro «Opuscules de» (1619-1621).

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Cristóbal Clavio (1538-1612)

Todos estos hechos causaron que Johannes Tropfke abandonara en 1921 su vieja visión del origen de la x, aunque discutió vehemente la similitud de la x y german, y la familiaridad de Descartes con german, que pudieron ser debidas a que al final del libro «Géométrie» de Descartes, la x aparece con más frecuencia que la x y la z. Gustaf Eneström, por otro lado, se inclinó a pensar que la predominancia de la x sobre la y ó la z se debía a razones tipográficas, pues la x se representa más veces, ya que es más usual su aparición en lenguas latinas y romances.

Según relató Johnson: Descartes introdujo la ecuación ax + by = c, que es utilizada aun en la actualidad para describir la ecuación de una línea. El predominante empleo de la letra x para representar un valor desconocido apareció de manera muy interesante. Durante la impresión de la obra «La Geometrie» y su apéndice «Discours de la méthode«, que introdujo geometría coordinada, la imprenta tuvo un dilema. Mientras el texto se plasmaba, en la imprenta empezaron a escasear las últimas letras del alfabeto. El impresor preguntó a Descartes si le importaba que la x, y ó z apareciesen indistintamente en cada ecuación del libro. Descartes especificó que no importaba el empleo de cualquiera de las tres para designar una cantidad desconocida. El impresor seleccionó x para la mayoría de las variables desconocidas, ya que las letras y ó z se utilizaban con más frecuencia en la lengua francesa que la x.

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Algunos historiadores han centrado su atención en la x, ignorando la y ó la z, y todos los cambios en la notación realizados por Descartes. Estos escritores se han esforzado en conectar esta x con otros símbolos antiguos o letras árabes.

De esta manera, existen otras explicaciones para el empleo que hizo Descartes de la x, y ó z en las variables desconocidas. Por ejemplo, la definición de la x que apareció en el «Nuevo Diccionario Internacional Webster» (1909-1916) y su subsiguiente segunda edición, donde se proclamaba que: «Antiguamente, alrededor del 3000 ó 2500 a.C., la x fue utilizada como abreviación de la palabra árabe «shei» o «shai«, el término que empleaban para determinar un número indefinido o una incógnita, que significa «cosa, algo», y que en la Edad Media, también se utilizó para designar las variables desconocidas. Esta fue posteriormente transcrita por los griegos al alfabeto helénico como como «xei» o «xai«. El término se fue acortando para eliminar complejidad a las fórmulas matemáticas, y quedó convertido en la letra x de nuestros días.»

Aun así, Florian Cajori dice que no existen evidencias de este hecho.

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De acuerdo a la segunda edición del «Diccionario de Inglés Oxford«: La introducción de x, y ó z como símbolos de las cantidades desconocidas se debe a Descartes y su libro de 1637 «Géométrie«, quien, para disponer símbolos de variables desconocidas para los símbolos a, b y c, que son las conocidas, tomó la última letra del alfabeto, z, para la primera incógnita, y procedió hacia atrás con la y y la x para la segunda y tercera respectivamente. No hay evidencia que respalde la hipótesis de que la x se derive del uso en la época medieval de «xei» ó «shei» (cosa, algo), empleada por los árabes para especificar cantidades desconocidas, o del compendio L. res «cosa» ó radix «raíz» (que parece ser una x escrita de forma muy pobre), utilizado por los matemáticos medievales.

Descartes empleó letras para representar sólo números positivos; un número negativo se podía representar como una -b, según dictaminaba el segundo volumen de Florian Cajori en su página 5. Johannes Hudde fue el primero en permitir que una letra representara un número positivo o negativo en su obra «De reductione aequationum» en 1657, publicada al final del primer volumen de la segunda edición al latín del libro «René Descartes’ Géométrie«, escrito por Frans Van Schooten.

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Johannes Hudde (1628-1704)

Jonas Moore escribió en el ejemplar de 1660, «Arithmetic«: «Escriba siempre las cantidades o números conocidos con consonantes, y aquellos que son desconocidos con vocales; o también las cantidades desconocidas con las primeras letras del alfabeto y las incógnitas con las últimas, como la z, y ó x. Esto hará menos confuso su trabajo».

Los números complejos, como la notación a + bi, fueron introducidas por Leonhard Euler (1707-1783).

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