La leyenda del tablero de ajedrez (progresión aritmética)

El ajedrez es un juego antiquísimo. Lleva muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañar que se hayan inventado sobre él, variopintas leyendas de cuestionable veracidad, las cuales son difíciles de demostrar debido a su antigüedad.

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Hoy os voy a narrar una de estas fábulas que conozco desde pequeño y siempre me fascinó. Para entenderla no es preciso saber jugar al ajedrez. Sólo se necesita saber que el tablero donde se desafía al oponente está dividido en 64 casillas negras y blancas, colocadas de manera alternativa.

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram se enteró de este divertimento estratégico, se maravilló de lo ingenioso y de la variedad de combinaciones que en él eran posibles. Al hacerse eco que el inventor era uno de sus siervos, el rey requirió su presencia con objeto de remunerarle personalmente por su buen invento.

El autor del invento, que se hacía llamar Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio que vestía con modestia y que vivía gracias a los medios que le suministraban sus discípulos.

– Seta, quiero compensarte generosamente por el ingenioso juego que ideaste –le dijo el rey.

El erudito contestó con una reverencia.

– Soy lo bastante poderoso y acaudalado como para poder concederte tu deseo más ansiado –continuó explicando el rey–. Declárame una recompensa que te satisfaga y será tuya.

El sabio se mantuvo callado.

– No seas tímido –le animó el rey-. Cuéntanos tu anhelo. No escatimaré en gastos para complacerlo.

– Grande es su beneplácito, gran soberano. Pero concédame un corto plazo de tiempo para pensar la respuesta. Mañana, tras una profunda meditación, le transmitiré mi petición.

A la mañana siguiente Seta compareció de nuevo ante el monarca y lo dejó maravillado con su petición, sin precedente alguno por su humildad.

– Oh gran soberano –dijo Seta–, ordene que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez que yo inventé.

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– ¿Un sólo grano de trigo? –inquirió con sorpresa el rey.

– Sí, mi señor. Por la segunda casilla, pida que me sean entregados dos granos de trigo; por la tercera casilla, cuatro granos; por la cuarta casilla, ocho; por la quinta casilla, dieciséis; por la sexta casilla, treinta y dos…

– ¡Basta! –le interrumpió el rey enfadado–. Se te entregará el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero, tal y como es tu deseo; por cada nueva casilla, doble cantidad de trigo que por la precedente. Pero debes conocer que tu petición es indigna de mi benevolencia. Al pedirme tan ínfimo pago, menosprecias de manera irreverente mi recompensa. Y como erudito que eres, podrías haber dado mayor prueba de respeto ante la magnificencia de tu rey. Ya puedes retirarte. Mis sirvientes te entregarán el saco con el trigo que necesites.

Seta esbozó una sonrisa, y tras abandonar la sala, se quedó esperando en la puerta exterior del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del creador del ajedrez y envió a alguien para que se informara de si se había entregado ya al meditabundo Seta su mezquina recompensa.

– Majestad, su orden se está cumpliendo –fue la respuesta–. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos de trigo que deben ser entregados.

El monarca frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus decretos.

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Por la noche, al retirarse a descansar a sus aposentos, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que el sabio Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

– Majestad –le respondieron–, sus matemáticos siguen trabajando sin descanso y esperan finalizar los cálculos al amanecer.

– ¿Por qué va tan lenta esta operación? –gritó iracundo el monarca–. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces un mismo mandato.

Por la mañana fue comunicado al gobernante que el matemático mayor de la corte instaba audiencia para comunicarle un informe muy importante.

El soberano ordenó que le hicieran pasar.

– Antes de empezar tu informe –le dijo Sheram–, quiero conocer si se ha entregado por fin a Seta la pobre recompensa que solicitó.

– Precisamente por ese asunto he osado presentarme tan temprano –respondió el anciano–. Hemos calculado concienzudamente la cantidad total de granos que desea recibir el sabio Seta. El resultado es una cifra descomunal…

– Sea cual fuere su proporción –le interrumpió con desdén el gobernante– mis graneros y despensas no empobrecerán. He prometido darle esa remuneración y, por lo tanto hay que entregársela.

– Majestad, no depende de su intención el cumplir semejante deseo. En todos sus graneros no existe la cantidad de trigo que pidió Seta. Tampoco existe en todas las despensas de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si desea proporcionar sin falta la recompensa que prometió, ordene que todos los reinos de la Tierra sean convertidos en labrantíos, mande desecar los mares y océanos, ordene fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del norte. Que todo ese espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordene que toda la cosecha conseguida en estos campos sea entregada a Seta. Solamente de esta manera el sabio entonces recibirá su recompensa.

El monarca escuchó perplejo las palabras del anciano matemático.

– Dime, ¿cuál es esa colosal cifra? –expresó el rey dudando.

– ¡Oh, majestad! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.

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Sobre la progresión aritmética

Si se empieza por la unidad, se deben sumar estas cifras: 1, 2, 4, 8, 16, etc. El resultado que se obtiene después de 63 duplicaciones sucesivas nos revelará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el sabio Seta. Podemos calcular fácilmente la suma total de granos de trigo, si duplicamos el último número, conseguido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se resume de manera simple a multiplicar 64 veces seguidas la cifra 2:

2 x 2 x 2 x 2 x 2, y así progresivamente hasta que lleguemos a 64 veces.

Con el fin de facilitar el cálculo, se pueden dividir estos 64 factores en 6 grupos de 10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicación sucesiva de 10 factores 2 es igual a 1.024 y la de 4 factores 2 es de 16. De esta manera, el resultado buscado es equivalente a:

1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 16

Si multiplicamos 1.024 x 1.024 obtendremos 1.048.576

Ahora nos queda por calcular:

1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16

Si restamos del producto obtenido una unidad, calcularemos el número de granos de trigo buscado: 18.446.744.073.709.551.615

Para hacernos una idea de lo colosal de esta cifra, debemos calcular de manera aproximada la magnitud que debería poseer el granero capaz de almacenar semejante cantidad de cereal. Primero debemos conocer que un metro cúbico de trigo posee cerca de 15 millones de granos. Teniendo este dato en cuenta, la recompensa del creador del ajedrez ocuparía un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es igual, 12.000 km3. Si el granero tuviera cuatro metros de alto y 10 metros de ancho, su longitud sería de 300.000.000 km, o sea, la distancia que existe de la Tierra al Sol dos veces.

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El rey hindú Sheram, lógicamente no podía proporcionar semejante recompensa. No obstante, de haber estado fuerte en matemáticas, hubiera podido librarse de esta deuda tan costosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que había pedido.

Si el erudito Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando a un ritmo de un grano por segundo, en el primer día habría contado 86.400 granos de trigo. Para contar un millón de granos se necesitaría, como mínimo, diez días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de cinco cuartos. Haciendo esto sin interrupción durante diez años, habría contado cien cuartos como máximo.

De esta manera, aunque Seta hubiera dedicado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte mínima de la recompensa que exigió.

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15 comentarios en “La leyenda del tablero de ajedrez (progresión aritmética)”

  1. hay otra forma, aunque tramposa, de salir del problema: El rey pudo decir que la suma era tan modesta, que prefiere darle INFINITOS GRANOS:

    Sea T (cantidad de granos) = 1, 2, 4, 8, 16…..
    Se saca el 1 para el otro lado y se factoriza en 2, quedando:

    T – 1 = 2 (1, 2, 4..)
    Es decir:

    T – 1 = 2T

    Por un simple despeje de ecuacion, se deduce que

    T – 2T = 1
    – T = 1
    T = -1

    Es decir, el creador del ajedrez le DEBERIA 1 GRANO AL REY

    El inconveniente de eso, es que se le aplican las propiedades de los numeros reales a un numero “infinito”, llegando a contradicciones asi.. pero en una de esas, el inventor del juego no era tan bueno en matematicas xD

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  2. Hola, mi pregunta es, si queremos saber el numero de granos que hay en la casilla 64, y teniendo en cuenta que en la casilla 1 debe haber un grano, lo que seria 2 elevado a 0, en la casilla 2, tenemos 2 granos, 2 elevado a 1, asi hasta la casilla 64, lo que seria 2 elevado a 63, no tendriamos la cifra total de 9223372036854775808 granos??
    le agradeceria su respuesta,
    gracias.

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  3. Muy hermosa la narración de esta clásica leyenda.
    Pero hay un error matemático en un subtítulo, se trata de una progresión geométrica (no es aritmética).

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  4. Carlos, creo que tienes media razón, el problema se genera al multiplicar por 2 64 veces, olvidando que en la casilla 1 hay solo un grano, es decir debería ser 1+2x2x2x2x2…. con 63 números 2, con lo que se cumple lo que dices tu 2 elevado a 63 pero se debería agregar + 1, que representa a la primera casilla, creo yo (porque 2 elevado a cero no se considera en tu suma total o si???).

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  5. El resultado es correcto, lo que pasa es que hay que sumar los granos de cada casilla y te da el resultado de 18.446.744.073.709.551.615 podeis hacerlo con una hoja excel (no se tarda nada) o utilizando la propiedad matematica.

    S(número total de granos)

    S= 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4… + 2^63(NO 2^64 ya que la primera casilla se eleva a cero)

    Multiplicamos «S» por 2 lo que nos da

    2S= 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5… 2^64

    Luego restamos 2S – S lo que nos sale:

    S= 2^64 – 1 (que es lo que ha puesto, ya que dice que después hay que restar 1)

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  6. Jake mate mati kas, yo no creo en los numeros, son una entelequia que no existe en la naturaleza, solo estan en la mente de los humanos y el dinero es el mayor engaño de la civilizacion, ademas, en todo caso habria 9 numeros, pues el 10 es la union del uno con el cero, etc. (un timo)

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