Ejercicios y problemas

En cualquier ámbito de la vida diaria, estamos ante un problema «cuando desde la situación en que estamos queremos llegar a otra, que conocemos con más o menos claridad, pero desconocemos el camino» (Miguel De Guzmán).

Miguel De Guzmán (1936 - 2004)
Miguel De Guzmán (1936 – 2004)

Así, dos condiciones esenciales para que haya un problema son:

– Que lo aceptemos como tal (deseo de superación).

– Que no se resuelva rápidamente por un procedimiento conocido (necesidad de deliberación).

Es evidente que cada uno de nosotros resuelve diariamente un buen número de problemas. Además, nuestras vidas están tremendamente influidas por las soluciones que para determinados problemas propusieron y llevaron a la práctica personas que nos precedieron, quienes dejaron de ver ciertas situaciones como inevitables para considerarlas como problemas pendientes de solución.

Por ejemplo: William Eno, «padre de la seguridad del tráfico», se preocupó a finales del siglo XIX de los inmensos atascos de tráfico provocados en Nueva York por vehículos de tiro animal, proponiendo soluciones como: semáforos, calles de dirección única, islotes de peatones, etc., ideas todas ellas que hoy nos parecen evidentes, pero que hasta entonces eran desconocidas.

La existencia de dificultades no es una característica intrínseca de una situación, sino que depende también de los conocimientos, experiencia, etc., del resolutor. En este sentido se desarrolla la idea de «umbral de problematicidad» diferente para cada persona y por encima del cual se puede considerar que una situación constituye un verdadero problema para las personas implicadas (Así lo expresan las investigaciones de Garrett, Ramírez y otros).

En las Ciencias, los problemas surgen del deseo de alcanzar mayor conocimiento de cada situación (actitud investigadora). En particular, en las Matemáticas, los problemas son de dos tipos:

– Problemas por resolver, en los que debemos dar respuesta a una pregunta, encontrando un número, una figura, etc. que cumpla unas condiciones (hallar la incógnita).

– Problemas por demostrar, llamados teoremas, en los que debemos demostrar de modo concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación.

ejercicios matematicos

En ocasiones se nos propondrán situaciones abiertas para su estudio, sin un objetivo predefinido. En ellas desarrollaremos investigaciones, en el curso de las cuales nosotros mismos deberemos plantearnos los problemas.

No confundir problemas y ejercicios. Con frecuencia, en clase de Matemáticas se suelen denominar «problemas» a actividades de distinta naturaleza. Por ejemplo:

– «Resolver la ecuación: 2 log (x – 2) = log (x + 4)»
– «Calcular cuánto tiempo tardan dos grifos en llenar una bañera si uno la llena en 1 hora y el otro en 1/2 hora»
– «Calcular cuál es el menor número de líneas rectas que se necesitan dibujar en un papel para tener 100 cuadrados»

Son actividades con rasgos diferentes. La primera y la segunda son rutinarias, bien enmarcadas dentro de capítulos del curriculum, mientras que la tercera, bajo una apariencia amable de pasatiempo, resulta ser nada habitual, está fuera de un capítulo específico y a primera vista no se sabe muy bien cómo abordarla: no disponemos de ninguna receta o algoritmo para llegar a la solución.

A la tareas para las cuales se ha estudiado previamente un método o algoritmo (hacer divisiones, sumar fracciones, etc.) se les debe llamar ejercicios. Para resolver un problema no basta con aplicar una regla o una «receta» de forma rutinaria, sino que a fuerza de búsqueda y de intuición, hay que elaborar una solución profundizando en los conocimientos y experiencias anteriores. Un ejercicio se resuelve rápidamente. Por lo general, la resolución de un problema exige bastante tiempo.

«Los problemas de rutina pueden ser útiles, pero limitar la enseñanza de las Matemáticas a la ejecución mecánica de operaciones rutinarias es rebajarlas por debajo del nivel de un «libro de cocina» ya que las recetas culinarias reservan una parte a la imaginación y al juicio del cocinero, mientras que las recetas matemáticas no permiten tal cosa». (George Polya)

George Polya (1887 - 1985)
George Polya (1887 – 1985)

Cuando se trata de problemas, hay que resolver una situación usando los conocimientos directamente disponibles. Es decir, no se dispone de un procedimiento a mano para resolverlo, pero sí se tienen conocimientos matemáticos y heurísticos para avanzar en la resolución.

– La diferencia entre un ejercicio y un problema es relativa; lo que para una persona es un problema no rutinario, para otra puede ser un ejercicio, todo depende de los conocimientos y experiencias anteriores («umbral de problematicidad»).

– Un enunciado abierto puede convertir un ejercicio en un problema. Por ejemplo: «¿Cuánto tarda un tren en atravesar un túnel?» o «Vamos a atravesar una calle de circulación rápida y vemos venir un coche, ¿cruzamos o esperamos?». Son enunciados sin datos, situaciones abiertas que requieren: un análisis cualitativo, el replanteamiento del problema y estimaciones numéricas (Ramírez y otros).

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